Teuflische Höhe?

Der Brunnen des „gefallenen Engels“ (Fuente del Ángel Caído) in Madrid ist wohl die einzige, prominente Statue des Teufels. Auf dem Platz, Kreuzung Paseo Uruguay / Paseo Fernan Nuñez / Paseo Republica de Cuba, mitten im Parque de El Retiro steht der besagte Brunnen. Und das angeblich noch auf 666m über dem Pegel von Alicante^1,2. Als könnte ich so ein Trivia-Wissen unüberprüft stehen lassen…

Wie es sich für einen waschechten Vermessungsingenieur gehört, bin ich natürlich auch auf Reisen mit Vermessungsinstrumenten ausgestattet – in Form meines iPhone 13 Pro und MATLAB Mobile. Mit dieser App lassen sich unter anderem GNSS-Messungen aufzeichnen und gleich in MATLAB-Variablen speichern.

Messverfahren

Wie schon geschrieben, verwende ich zur Messung mein iPhone 13 Pro. Das Smartphone kann Satelliten der Systeme GPS, GLONASS, Galileo, QZSS und BeiDou empfangen³. Leider lassen sich keine Genauigkeitsinformationen dazu finden, aber meiner Meinung nach dürfte das Niveau auf dem Level von Code-Messungen (± 5m horizontal, ±10m vertikal) liegen.

In MATLAB Mobile kann die Sampling-Frequenz für die Sensoraufzeichnung definiert werden. Ich habe mich für eine Frequenz von 1Hz (also eine Messung in jeder Sekunde der Aufzeichnung) entschieden.

Eine erste Datenanalyse: Lagesondierung

Zurück aus dem Urlaub, habe ich mir nun die aufgezeichneten GNSS-Messungen angeschaut. Insgesamt wurden 64 Positionen aufgezeichnet – für die Umrundung des Brunnens habe ich etwa eine Minute gebraucht. Dabei bin ich auf dem Bordstein um das Pflaster der Brunnenanlage gelaufen. Einmal musste ich für eine Gruppe, die gerade ein Foto vor dem Brunnen machte, anhalten. Die Bewegungsrichtung war hier gegen den Uhrzeigersinn, wobei ich im Norden des Brunnens gestartet habe.

In der Grafik nebenan habe ich die von mir abgelaufene Runde um den Brunnen aufgezeichnet. Interessant ist hier ein scheinbar systematischer Versatz zwischen dem Luftbild und meiner GNSS-Messung.
Um wirklich beurteilen zu können, inwiefern der Effekt systematischer Natur ist, müsste ich die Runde nochmals mit anderem Instrumentarium, zu einer anderen Tageszeit und zur Sicherheit auch in der anderen Richtung ablaufen.

Was mir auch noch auffällt ist, dass die Schleife, die ich gelaufen bin auch nicht geschlossen ist. Anhaltspunkt für Start und Ende der Messungen war eine auffällige Abplatzung am Bordstein.

In diesem Blogeintrag geht es ohnehin um die Höhe, die Lage spielt nur eine untergeordnete Rolle. Für die weiteren Betrachtungen sei aber darauf verwiesen, dass der Einfluss einer möglichen Systematik nicht allein auf die Lage beschränkt sein muss, sondern durchaus auch Auswirkungen auf die Höhenmessung haben kann (und sehr wahrscheinlich auch haben wird).

Exkurs: Die Krux mit den Höhen

Wen die theoretischen Hintergründe zum Thema Höhe nicht interessieren, kann einfach diesen Abschnitt überscrollen und bei der nächsten Überschrift wieder einsteigen. Dort geht es dann um die eigentliche Auswertung der Höhenmessungen.

Unter einer Höhe verstehen wir Geodäten ganz Allgemein gesprochen den senkrechten Abstand eines Punktes zu einer Bezugsfläche. Der Vergleich von Höhen gestaltet sich in der Praxis oft nicht ganz so leicht, da es die unterschiedlichsten Bezugsflächen gibt. In den meisten Fällen beziehen sich mittels GNSS bestimmte Höhen auf ein Rotationsellipsoid (der Querschnitt der Erde entlang eines Großkreises [Meridians] wird dabei als Ellipse angenommen. Durch Rotation der Ellipse um die Polachse entsteht dann ein Volumenkörper, den man als Rotationsellipsoid bezeichnet). Folglich handelt es sich um Höhen, die sich auf eine geometrische Figur beziehen – so genannte geometrische Höhen.

Die Verwendung dieser geometrischen Höhen hat nun aber einen entscheidenden Nachteil: Mit der Physik haben diese Höhen nämlich nicht viel zu tun. Physikalisch liegen zwei Punkte nämlich dann auf einer gleichen Höhe, wenn zwischen den beiden Punkten kein Wasser fließt. Konkret bedeutet das, dass an beiden Punkten eine Masse genau die gleiche potentielle Energie hat. Oder etwas geodätischer ausgedrückt: An beiden Punkten herrscht das gleiche gravitative Potential:

E_{pot,1} = E_{pot,2} = m\cdot g\cdot h_1 = m \cdot g \cdot h_2\\m=const.\\h_1=h_2

Die einzige Größe, die in den potentiellen Energien (Epot) zwischen den beiden Orten gleicher Höhe variiert ist g. Sprich, die Schwerebeschleunigung, die wir im Physikunterricht immer als Konstante betrachtet haben. Sie ist aber alles andere als konstant: Je höher (also weiter vom Erdzentrum entfernt) ein Punkt liegt, desto schwächer wird die Anziehungskraft und folglich wird g kleiner. Dies folgt aus dem Gravitationsgesetz von Newton, nach dem sich Massen gegenseitig anziehen:

F_G = G\cdot\frac{M\cdot m}{r^2}

Auf einer horizontalen Ebene dürfte sich an der Größe von g wegen der Höhenunterschiede also nur wenig ändern. Jetzt kommt aber noch ein weiterer Effekt dazu: Nämlich die Dichte des Materials. Je dichter ein bestimmtes Volumenelement ist, desto größer ist auch seine Masse und somit auch sein Beitrag zur Richtung der Schwerebeschleunigung. Man kann für viele Anwendungen vereinfacht annehmen, dass die Dichte durch den gesamten Planeten hindurch einigermaßen gleichmäßig ist.
In Präzisionsanwendungen der Geodäsie hingegen (z.B. Vermessungen im Tunnelbau, an einem Teilchenbeschleuniger oder an Eisenbahnen) müssen die aus unterschiedlicher Dichte (Massenverteilung) und Höhenlage resultierenden Schwankungen der Schwerebeschleunigung penibel beachtet werden.

Durch die Messung von Schwerebeschleunigungen – das Fachgebiet hier ist die Gravimetrie – lassen sich Flächen gleichen Potentials (Äquipotentialflächen) ermitteln. Eine solche Äquipotentialfläche wird zum Beispiel von den Ozeanen und Meeren gebildet. Wir Geodäten bezeichnen diese spezielle Fläche als Geoid. Ohne noch tiefer in die Potentialtheorie einzusteigen, haben wir soeben den Bogen zwischen den geometrischen und physikalischen Höhen geschlagen: Misst man an den Orten, an denen man Gravimetrie betrieben hat, auch mit GNSS, kann man den Unterschied zwischen beiden Höhen berechnen und so Umrechnungen von geometrischen Höhen in physikalische Höhen vornehmen. Das Ergebnis wird als Geoidundulation bezeichnet und üblicherweise durch ein Geoidmodell bereitgestellt.

In der überhöhten Darstellung des Geoidmodells oben sieht man sehr gut, dass die Schwerebeschleunigung einen erheblichen Einfluss hat. In den Gebirgsregionen sind zum Teil sehr kleinräumige Schwankungen zu sehen, während die Oberflächen der Ozeane deutlich glatter sind.

Doch genug zu den physikalischen Hintergründen der Höhen. Im Folgenden geht es um die Auswertung der Höhenmessungen.

Auswertung der Höhenmessung

Anbringen des Geoidmodells

Im Datensatz von MATLAB Mobile ist neben der geographischen Breite und Länge auch die Höhe über dem Meeresspiegel angegeben. Im vorherigen Abschnitt habe ich dargestellt, dass die GNSS-Höhe ja eigentlich nicht direkt mit der Höhe über dem Meeresspiegel vergleichbar ist. Doch intern bringt der GNSS-Empfänger des iPhone bereits ein Geoidmodell an⁴, sodass hier fertige Meereshöhen herauskommen – praktisch! Bei dem angebrachten Modell handelt es sich um das EGM2008 (Earth Gravitational Model 2008).

Bezüglich des spanischen Geoids REDNAP habe ich Folgendes herausgefunden: Die mittlere Abweichung zwischen EGM2008 und REDNAP beträgt etwa 0.038m⁵. Allerdings ist mein Spanisch nicht gut genug um genauere Information aus dem Papier zu gewinnen. Aus diesem Grund und wegen der offensichtlich kleinen Abweichung von nicht einmal vier Zentimetern, verzichte ich auf den Übergang vom EGM2008 auf das REDNAP. Zumal REDNAP ans EGM2008 angelehnt worden ist – so viel habe ich glaube ich verstanden.

Berücksichtigung der „Instrumentenhöhe“

Die Höhenangabe von 666m bezieht sich auf das Gelände, auf dem der Brunnen steht. Da ich mein Handy aber nicht über den Boden gezogen habe, sondern vor mir in der Hand hergetragen habe, muss ich die Höhen alle um den Höhenunterschied zwischen meinem Arm und dem Boden korrigieren. In einem anderen Artikel hier im Blog habe ich auf eine (gute?) Daumenregel verwiesen: Der Nabel der Durchschnittsperson ist etwa einen Meter über dem Boden.
Ich habe aber meine Handhaltung zuhause nachgestellt und mit einer Haftnotiz am Türrahmen markiert. Es ergab sich eine Höhe von 1.06m, die ich von allen Messwerten abgezogen habe.

Analyse der Messdaten

In der nebenstehenden Grafik habe ich die verschiedenen Höhenmessungen als Zeitreihe aufgetragen. Sicherlich fällt zuerst auf, dass die Werte ganz ordentlich schwanken: Zwischen der höchsten Messung (668.39m) und der niedrigsten Messung (665.70m) liegen stattliche 2.69m. Wie man vielleicht im Titelbild des Beitrags erkennt, ist die nähere Umgebung des Brunnens aber quasi „brettl“ eben.

Natürlich kommt ein Teil der Schwankungen auch durch meine Eigenbewegung: Beim Gehen bewege ich mich nicht nur vor- und seitwärts, sondern eben auch auf- und abwärts. Apropos Gehen: Der steile Abfall der Höhen im letzten Drittel der Zeitreihe hat mich stutzig gemacht. Er tritt in etwa dann auf, als ich für das besagte Gruppenfoto angehalten habe. Besteht hier ein Zusammenhang? Zumal die Höhen dann auch wieder ansteigen?

Das lässt sich graphisch recht schnell abklären: Die obere Kurve zeigt die Höhenwerte und die untere Kurve zeigt die Geschwindigkeit, die ebenfalls über GNSS gemessen wurde. Und tatsächlich: Die Geschwindigkeit war gleich Null und in der nächsten Messung, als ich wieder losgegangen bin, passiert der Abriss in der Höhe: Beim Losgehen habe ich von 0.00m/s auf 0.37m/s beschleunigt, und zeitgleich nimmt die Höhe um 0.58m ab! Zur nächsten Messung habe ich auf 0.79m/s beschleunigt und die Höhe nahm um weitere 0.42m ab.
Woran könnte das liegen? Ist der Sensor für die Dynamik nicht geeignet? Andererseits war das auch keine extreme Beschleunigung. Wenn ich genauer darüber nachdenke, glaube ich dass ich beim Stehenbleiben und anschließenden Weitergehen die Hand abgesenkt habe und zum „Schleifenschluss“ wieder angehoben habe. Das würde zumindest einen Teil des Ausschlags erklären, aber nicht die vollen -1.37m.
Ich habe mich (blöderweise) auch bewusst gegen die Aufzeichnung von Daten aus dem Beschleunigungssensor entschieden, daher kann ich diese Daten nicht zur Verifizierung heranziehen. So wird der Ausschlag wohl ein Rätsel bleiben…

Trotz (oder besser wegen) der ungeklärten Ursache für das „Absacken“ der Werte muss ich mir jetzt die Frage stellen, ob ich die unklaren Messungen berücksichtigen möchte oder ob ich sie ausschließen soll. Ich entscheide mich fürs Behalten der Messwerte.

Zur Ergebnisdiskussion habe ich nochmal das obige Diagramm der Messwerte hierher dupliziert. Die blaue Kurve stellt die Messungen der Höhe h an sich dar. In schwarz ist das arithmetische Mittel μ_h und als rote Linie der Median ϖ_h gezeichnet.

Das arithmetische Mittel liegt bei 667.06m und der Median bei 667.23m. Somit liegen beide abgeleiteten Mittelwerte deutlich über den 666m, auf denen der Brunnen angeblich stehen sollte.

Der Median liefert dabei eine größere Höhe als der arithmetische Mittelwert, da der Median geometrisch unempfindlicher gegen „Ausreißer“ ist, als es das arithmetische Mittel wäre: Beim Median werden die Einzelwerte der Größe nach sortiert und schließlich das mittlere Element als Ergebnis gewählt; das arithmetische Mittel hingegen besteht aus der Summe aller Messwerte geteilt durch die Anzahl aller Messwerte. Dadurch haben die „abgesackten“ Werte einen erheblichen Einfluss auf den arithmetischen Mittelwert.

Doch als Vermesser interessiert mich natürlich nicht nur der bloße Mittelwert, sondern auch wie genau dieser aus den Messungen bestimmt werden kann. Stichwort ist hier die Standardabweichung, die sich als die positive Quadratwurzel der Varianz (Quadratsumme der Verbesserungen, normiert anhand der Anzahl der Freiheitsgrade) errechnet.
Für den (arithmetischen) Mittelwert liegt die Standardabweichung bei σ_μ=0.63m und für den Median bei σ_ϖ=0.65m. Das bedeutet, dass ca. 68% aller Messungen innerhalb von ±0.63m bzw. ±0.65m um den Mittelwert bzw. den Median herum liegen.

Jetzt sind aber 68% ein nicht allzu hohes Konfidenzniveau. Daher betrachte ich jetzt noch die 2-σ-Genauigkeit, also die doppelte Standardabweichung. Mit ±1.26m und ±1.30m liegen dann 95% aller Messungen um das arithmetische Mittel und den Median. Noch größer wird das intervall bei 3-facher Standardabweichung: Dann gilt, dass 99% aller Messungen innerhalb von ±1.88m (Mittelwert) bzw. ±1.95m (Median) liegen.

Doch was bedeuten diese Sigma-Intervalle jetzt für unseren konkreten Brunnen-Fall?
Angenommen, die Angabe von 666.00m wäre ein Messergebnis. Dann könnten wir jetzt prüfen, ob dieses Messergebnis im Rahmen der Genauigkeitsbetrachtung innerhalb eines dieser Intervalle zu verorten wäre.

In Tab. 1 habe ich die Einträge jeweils farblich hervorgehoben: Rote Schrift, wenn unsere 666.00m nicht im Intervall liegen und grüne Schrift, wo der Wert innerhalb des Intervalls liegt. So wird auf einen Blick deutlich, dass bei Anwendung von mindestens 2σ ein Messwert von 666.00m im Rahmen der Genauigkeit läge. Das entspricht bereits einem Konfidenzintervall von 95%!

Jetzt könnte man noch anbringen, dass bei 2σ ja grob nur 1.3m Genuaigkeit herauskommen. Das ist für die meisten ingenieurgeodätischen Anwendungen deutlich zu schlecht. Aber wir sprechen hier ja über eine „Standalone“-Lösung mit einem Produkt aus der Gruppe der Consumer-Elektronik. Hinzu kommt, dass die Messung aufgrund der Messanordnung (in der Hand gehalten beim Gehen) einer gewissen Dynamik unterliegt. Und dafür ist das schon recht ordentlich.

Um diese Aussage zu stützen, möchte ich noch auf die Genauigkeiten eingehen, die bei jeder einzelnen GNSS-Messung vom iPhone als einfache Standardabweichung berechnet⁶ und von MATLAB Mobile aufgezeichnet werden. Zwar wurden nur Werte für die horizontale Genauigkeit der GNSS-Lösung gespeichert⁷, aber als Faustregel gilt, dass die Höhe in etwa um den Faktor zwei schlechter bestimmbar ist, als die horizontale Komponente.
Im Mittel liegt die horizontale Genauigkeit der Messungen bei ±4.74m. Dieser Wert könnte als Anhaltspunkt für den Versatz zwischen Luftbild und aufgezeichnetem Track dienen.
Gehe ich von einer zweimal schlechteren Genauigkeit für die Höhe aus, so erhalte ich hier ±9.49m. Das entspricht einem Konfidenzintervall von etwa 15σ. Folglich sind wir mit unseren Messungen deutlich besser und die 666m-Angabe liegt im Bereich aller Messungenauigkeiten.

Fazit

Nach den (endlos scheinenden) Betrachtungen oben, komme ich am Ende zu dem Ergebnis, dass der Brunnen zu mindestens 95% Wahrscheinlichkeit auf 666m Höhe über dem Pegel von Alicante liegt. Auch wenn meine Mittel- und Medianwerte deutlich höher liegen, kann ich im Rahmen der Mess(un)genauigkeit den Wert von 666.00m im 2σ-Intervall verorten.

„Amtliche Höhe“ des Brunnens

Das „Instituto Geográfico National“ bietet einen WebMapTileService (WMTS)⁸ an, den man über den Webviewer des Instituts auch interaktiv nutzen kann, um Höhen des digitalen Geländemodells abzufragen. Für die Mitte des Brunnens ergibt sich demnach eine Höhe von 666.277m. Somit wäre der Nachweis auch über eine einfache Webrecherche zu liefern gewesen. Aber wo bleibt da der Spaß? 😀

Fußnoten/Quellen:

1. Wikipedia Eintrag zum Fuente del Ángel Caído (Abgerufen am 05.11.23) ↩︎
2. Fuente del Ángel Caído in der Rutas con Historia (Abgerufen am 05.11.23) ↩︎
3. Technische Daten iPhone 13 Pro (apple.com, abgerufen am 06.11.23) ↩︎
4. Dokumentation Apple iOS Core Location: Altitude (abgerufen am 06.11.23) ↩︎
5. El nuevo modelo de geoide para Espana (Seite 17, abgerufen am 12.11.23) ↩︎
6. Dokumentation Apple: Vertical Accuracy (abgerufen am 12.11.23) ↩︎
7. MATLAB Dokumentation: Position Log (abgerufen am 12.11.23) ↩︎
8. WebMapTileService: Digitales Geländemodell (Modelo digital del terreno) ↩︎